Soit \(f:{\Bbb R}^3\times{\Bbb R}^3\to{\Bbb R}\), \(f(x,y)=x_1y_1+x_1y_2-4x_2y_1+3x_2y_2-2x_2y_3+4x_3y_3\), où \(x=(x_1,x_2,x_3)\) et \(y=(y_1,y_2,y_3)\)
Montrer que \(f\) est une forme bilinéaire et trouver sa matrice dans la base canonique
Est-elle symétrique ? Anti-symétrique ? Dégénérée ou non-dégénérée ?

Une phrase suffit
\(f\) est bilinéaire car c'est une combinaison linéaire de fonctions du type \(x_i\cdot y_j\), qui est linéaire sur \(x\) et sur \(y\)

Caractéristiques de \(f\) via la matrice

La matrice de \(f\) est : $$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\ -4&3&-2\\ 0&0&4\end{pmatrix}$$
Cette matrice n'est ni symétrique ni anti-symétrique, donc \(f\) n'est ni symétrique ni anti-symétrique
De plus, \(\ker A\) est trivial (\(\operatorname{det} A\ne0\)), donc \(f\) est non-dégénérée

Soit \(f:{\Bbb R}^2\times{\Bbb R}^2\to{\Bbb R},f((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1-x_1y_2+2x_2y_2\)
Montrer que c'est une forme bilinéaire

Phrase

C'est une combinaison linéaire de fonctions de la forme \(xy\), qui est linéaire sur \(x\) et \(y\)
\(f\) est donc bien une forme bilinéaire

Soit \(f:{\Bbb R}^2\times{\Bbb R}^2\to{\Bbb R},f((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1-x_1y_2+2x_2y_2\) une forme bilinéaire
Trouver la matrice \(A\) de \(f\) dans la base canonique de \({\Bbb R}^2\) \({\mathcal B}=\{(1,0),(0,1)\}\)

$$A=\begin{pmatrix}1&-1\\ 0&2\end{pmatrix}$$

Soit \(f:{\Bbb R}^2\times{\Bbb R}^2\to{\Bbb R},f((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1-x_1y_2+2x_2y_2\) une forme bilinéaire
Trouver la matrice \(B\) de \(f\) dans la base \({\mathcal B}^\prime=\{(1,1),(1,-1)\}\)

Calculer l'image par \(f\) des vecteurs de la base

On note \(e_1^\prime=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}\) et \(e^\prime_2=\begin{pmatrix}1\\ -1\end{pmatrix}\)
Alors $$\begin{align} b_{11}&=f(e^\prime_1,e^\prime_1)=2\\ b_{12}&=f(e^\prime_1,e^\prime_2)=0\\ b_{21}&=f(e^\prime_2,e^\prime_1)=-2\\ b_{22}&=f(e^\prime_2,e^\prime_2)=4\end{align}$$ donc $$B=\begin{pmatrix}2&0\\ -2&4\end{pmatrix}$$

Soit \(f:{\Bbb R}^2\times{\Bbb R}^2\to{\Bbb R},f((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1-x_1y_2+2x_2y_2\) une forme bilinéaire de matrice dans la base canonique \(A=\begin{pmatrix}1&-1\\ 0&2\end{pmatrix}\)
Trouver la matrice \(B\) de \(f\) dans la base \({\mathcal B}^\prime=\{(1,1),(1,-1)\}\) via un changement de base

Matrices de transition
$$C=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&-1\end{pmatrix}\quad\text{ et }\quad C^T=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&-1\end{pmatrix}$$

Changement de base

$$B=C^TAC=\begin{pmatrix}2&0\\ -2&4\end{pmatrix}$$

Soit \(\sigma:{\Bbb R}^3\times{\Bbb R}^3\to{\Bbb R}\) une forme bilinéaire donc la matrice dans une base est : $$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&-1\end{pmatrix}$$ écrire \(\sigma\) dans cette base
\(\sigma\) est-elle symétrique ?

$$\sigma(x,y)=x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_3+x_3y_2-x_3y_3$$
\(\sigma\) est symétrique

Soit \(\sigma:{\Bbb R}^3\times{\Bbb R}^3\to{\Bbb R}\) une forme bilinéaire donc la matrice dans une base est : $$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&-1\end{pmatrix}$$
On a \(\sigma(x,y)=x_1y_1+x_1y_2+x_2y_1+x_2y_3+x_3y_2-x_3y_3\) et \(\ker\sigma=\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\ -1\\ -1\end{pmatrix}\)
Trouver une base \({\mathcal B}=\{v_0,v_1,v_2\}\) dans laquelle la matrice de \(\sigma\) est : $$B=\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&C\\ 0&C&0\end{pmatrix}\quad\text{ avec }\quad C\ne0$$

Première colonne nulle \(\to\) correspond à un vecteur du \(\ker\)
Puisque la première colonne est nulle, il correspond à un vecteur \(v_0\in\ker\sigma\) car \(\sigma(v_0,v_i)=0\) pour \(i\in\{0,1,2\}\), et donc \(\sigma(v_0,x)=0\) pour tout \(x\in{\Bbb R}^3\) (par bilinéarité de \(\sigma\))
Donc $$v_0\in\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\ -1\\ -1\end{pmatrix}$$

Diagonale nulle \(\to\) correspond à des vecteurs isotropes
\(v_i,v_2\) sont isotropes car \(\sigma(v_1,v_1)=\sigma(v_2,v_2)=0\) (et puisque \(\sigma(v_1,v_2)=\sigma(v_2,v_1)=C\ne0\), \(v_1,v_2\notin\ker\sigma\))
On cherche donc des vecteurs isotropes de \(\sigma\) : $$0=x^2_1+2x_1x_2+2x_2x_3-x^2_3$$

Pas besoin d'avoir TOUS les vecteurs isotropes \(\to\) on peut fixer l'un des \(x_i=0\)
Pour \(x_2=0\), on a $$x_1^2=x^2_3\implies x_1=\pm x_3$$ donc on a $$v_1\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\quad\text{ et }\quad v_2\begin{pmatrix}1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}$$

Vérifier que \((v_0,v_1,v_2)\) forment une base
\({\mathcal B}=(v_0,v_1,v_2)\) est bien une base de \({\Bbb R}^3\) car $$\begin{vmatrix}1&1&1\\ -1&0&0\\ -1&1&-1\end{vmatrix}=-\left(-\begin{vmatrix}1&1\\ 1&-1\end{vmatrix}\right)=-2\ne0$$

Déterminer la constante \(C\)

De plus, \(C=\sigma(v_1,v_2)=2\)